פיתרון מבחן מועד א

שאלות רב ברירה:

חלק ב - שאלות פתוחות

יש לענות על שתיים מתוך שלוש השאלות הבאות.

שאלה 1
לצרכן הצורך שני מצרכים יש פונקציית תועלת כדלקמן:
u(x₁,x₂) = (x₁+1)x₂

1.1 חשב את פונקציית הביקוש למצרך 1. הקפד לטפל גם במקרים בהם יש פיתרון פינתי (אם קיימים כאלה).

1.2 התווה את עקומת אנגל עבור מצרך 1 כאשר (p₁,p₂)=(2,1).

1.3 בנתונים של סעיף 1.2 לעיל, האם מצרך 1 נחות, נורמלי, או נייטרלי?

תשובה 1

1.1 פונקציית התועלת מייצגת יחס העדפה מונוטוני המקיים קמירות ולכן תנאים לפיתרון פנימי:

p₁x₁+p₂x₂=I
x₂/(x₁+1) = p₁/p₂

מהמשוואה השנייה נקבל:
p₂x₂=p₁(x₁+1)
נציב במגבלת התקציב ונקבל:
p₁x₁+p₁(x₁+1)=I
או
2p₁x₁ = I-p₁
או
x₁ = (I-p₁)/2p₁ (*)

בפיתרון פנימי מתקיים
x₁ > 0
x₁ < I/p₁
כלומר למשוואה (*) יש להוסיף את התנאים:
(I-p₁)/2p₁ > 0 ‎(‎א‎)
(I-p₁)/2p₁ < I/p₁ (ב)
או
I/p₁ > 1 (א)
(תנאי (ב) מתקיים תמיד)
כאשר תנאי (א) אינו מתקיים, כלומר כאשר I/p₁ ≤ 1 (א)
הפיתרון הוא פינתי x₁=0.

לסיכום, פונקציית הביקוש למצרך 1 היא:

		(I-p1)/2p1,	I/p1 > 1
x1(p1,p2,I) =
		0,		I/p1 ≤ 1

1.2 נציב את המחירים הנתונים בפונקציית הביקוש למצרך 1 ונקבל:

		(I-2)/4,	I > 2
x1(2,1,I) =
		0,		I ≤ 2

1.3 מצרך 1 הוא נורמלי בתחום I > 2 ונייטרלי בתחום: I < 2

שאלה 2
צרכן צורך שני מצרכים, שעות פנאי (מצרך 1) וכיכרות לחם (מצרך 2) פונקציית התועלת שלו היא
u(x₁,x₂) = x₁x₂
לצרכן סל תחילי הכולל 24 שעות פנאי ו-10 כיכרות לחם. הצרכן יכול לוותר על פנאי ולעבוד בשכר W שקלים לשעה. מחיר הלחם הוא שקל אחד לכיכר.

2.1 מהי קבוצת האפשרויות של הצרכן? תן תשובתך הן בנוסחא והן בהצגה גרפית.

2.2 חשב את הביקוש של הצרכן לפנאי, ואת היצע העבודה. הקפד לטפל גם במקרים בהם יש פיתרון פינתי (אם קיימים כאלה).

2.3 מהו שכר הסף? (שכר הסף הוא השכר הגבוה ביותר בו הצרכן לא יעבוד כלל).

תשובה 2

2.1 בנוסחא:
{(x₁,x₂) | Wx₁ + x₁ ≤ W24 + 10 וגם x₁ ≤ 24}

2.2 נחשב את הביקוש למגבלת תקציב רגילה ונקבל:
x₁(p₁,p₂,I)=I/2p₁
נציב
I=W24+10, p₁=W, p₂=1
ונקבל:
x₁(W)=(W24+10)/2W
על המשוואה הנ"ל יש להוסיף את התנאי לפיתרון פנימי:
(W24+10)/2W < 24 או
5/12 < W

כאשר מתקיים התנאי ההפוך לפיתרון פנימי, הפיתרון הוא פינתי x₁=24

לסיכום הביקוש לפנאי הוא:

	(W24+10)/2W,	5/12 < W
x1(W)=
	24,		5/12 ≥ W

היצע העבודה הוא

		24-(W24+10)/2W,	5/12 < W
24-x1(W)=
		24-24,		5/12 ≥ W

או

		(W24-10)/2W,	5/12 < W
24-x1(W)=
		0,		5/12 ≥ W

2.3 שכר הסף, כפי שראינו לעיל הוא W=5/12

שאלה 3
לצרכן פונקציית ביקוש לשני מצרכים:
x(p₁,p₂,I)= (2I/5p₁, 3I/5p₂)

(לצרכן יש גם פונקציית תועלת אך היא איננה נתונה בשאלה).

3.1 אם לצרכן עושר תחילי I=20 והמחירים הם (p₁,p₂)=(4,12), מה הסל שהצרכן יבחר?

3.2 אם לצרכן עושר תחילי I=15 והמחירים הם (p₁,p₂)=(5,1), מה הסל שהצרכן יבחר?

3.3 הצרכן יכול לבחור בין מגורים בחיפה ומגורים בתל אביב. אם יגור בחיפה יעמוד בפני המצב בסעיף 3.1 ואם יגור בתל אביב יעמוד בפני המצב ב 3.2.

האם ניתן לדעת באיזו עיר יעדיף הצרכן לגור? אם כן באיזו עיר ומדוע? ואם לא מדוע אי אפשר לדעת? ניתן ורצוי להיעזר בציור.

תשובה 3

3.1 נציב את הנתונים בפונקציית הביקוש ונקבל:
x(4,12,20) = (2*20/5*4, 3*20/5*12) = (2,1)

3.2 נציב את הנתונים בפונקציית הביקוש ונקבל:
x(5,1,15)= (2*15/5*5, 3*15/5*1) = (6/5,9)

3.3 הסל הנצרך במצב 3.1 נמצא מתחת מגבלת התקציב ב-3.2 ולכן הסל הנצרך ב-3.2 עדיף על פני זה שב-3.1. כלומר הצרכן יבחר לגור בתל אביב.