4.
נתון יחס ההעדפה:
x עדיף מ- או שקול ל- y
אם ורק אם
x1 + x2 + 1 ≥ y1 + y2
4.1
האם הוא מקיים שלמות וטרנזיטיביות?
4.2
מצא את היחס מעדיף (ממש) מ- ואת יחס השקילות (אדישות). האם היחסים האלה מקיימים טרנזיטיביות?
4.1 פיתרון:
טענה: היחס מקיים שלמות
הוכחה:
יהיו a ו-b סלי מצרכים.
צריך להראות ש-a לא פחות טוב מ-b או ש-b לא פחות טוב מ-a.
ישנם שני מקרים:
מקרה א
a1 + a2 + 1 ≥ b1 + b2
מקרה ב:
a1 + a2 + 1 < b1 + b2
אם הסלים a ו-b שייכים למקרה א, אזי נובע ישירות מההגדרה ש a לא פחות טוב מ-b.
אם הסלים אינם שייכים למקרה א, אזי הם שייכים למקרה ב. במקרה זה נקבל:
a1 + a2 < a1 + a2 + 1 < b1 + b2 < b1 + b2 + 1
כלומר b איננו פחות טוב מ-a.
היחס איננו מקיים טרנזיטיביות. דוגמא נגדית היא:
a = (2,1), b = (2,2), c = (2,3)
ניתן לראות כי a לא פחות טוב מ-b, b לא פחות טוב מ-c, אבל c איננו לא פחות טוב מ-a.
4.2 פיתרון:
היחס "עדיף מ" מוגדר כך:
x עדיף מ-y
אם:
1 x עדיף מ- או שקול ל- y
2 ולא מתקיים:
y עדיף מ- או שקול ל- x
מתנאי 1 נקבל
x1 + x2 + 1 ≥ y1 + y2
מתנאי 2 נקבל
y1 + y2 + 1 < x1 + x2
נסדר מחדש את שני התנאים, ונקבל:
x1 + x2 ≥ y1 + y2 - 1
x1 + x2 > y1 + y2 + 1
התנאי השני כולל את הראשון, ולכן
x עדיף מ-y אם ורק אם
x1 + x2 > y1 + y2 + 1
היחס "עדיף מ-" הינו טרנזיטיבי. (לא כתבתי את ההוכחה)
היחס "שקול" מוגדר כך: x שקול ל-y אם:מתנאי 1 נקבל
x1 + x2 + 1 ≥ y1 + y2
מתנאי 2 נקבל
y1 + y2 + 1 ≥ x1 + x2
נסדר מחדש את שני התנאים, ונקבל:
y1 + y2 + 1 ≥ x1 + x2 ≥ y1 + y2 - 1
היחס "שקול ל-" איננו טרנזיטיבי. הדוגמא הנגדית לטרנזיטיביות בסעיף 4.1 תקפה גם כאן.
5.
נתון יחס ההעדפה:
x עדיף מ- או שקול ל- y
אם ורק אם
x1 + x2 - 1 ≥ y1 + y2
5.1
האם הוא מקיים שלמות וטרנזיטיביות?
5.2
מצא את היחס מעדיף (ממש) מ- ואת יחס השקילות (אדישות). האם היחסים האלה מקיימים טרנזיטיביות?
5.1 פיתרון:
טענה: היחס איננו מקיים שלמות. דוגמא נגדית היא שלכל סל a, הסל איננו ניתן להשוואה עם עצמו.
היחס מקיים טרנזיטיביות. (לא כתבתי את ההוכחה).
5.2 פיתרון:
היחס "עדיף מ" מוגדר כך:
x עדיף מ-y
אם:
1 x עדיף מ- או שקול ל- y
2 ולא מתקיים:
y עדיף מ- או שקול ל- x
מתנאי 1 נקבל
x1 + x2 - 1 ≥ y1 + y2
מתנאי 2 נקבל
y1 + y2 - 1 < x1 + x2
נסדר מחדש את שני התנאים, ונקבל:
x1 + x2 ≥ y1 + y2 + 1
x1 + x2 > y1 + y2 - 1
התנאי הראשון כולל את השני, ולכן
x עדיף מ-y אם ורק אם x עדיף מ- או שקול ל-y
היחס "עדיף מ-" הינו טרנזיטיבי. זאת מפני שהוא זהה ליחס "עדיף מ- או שקול ל-".
היחס "שקול" מוגדר כך: x שקול ל-y אם:מהבדיקה בקשר ליחס "עדיף מ-" התברר שלא ייתכן ששני סלים יהיו שקולים זה לזה, כלומר שהיחס "שקול ל-" הוא ריק.
היחס "שקול ל-" הינו טרנזיטיבי, מפני שהוא ריק.
8.
לכל פונקציית תועלת מצא את פונקציית הביקוש.
8.2 U(x) = x2 - 1/(x1 + 1)
8.3 U(x) = log(x1+1) + 2log(x2+1)
8 פיתרון:
8.2 נמצא תחילה את ה-MRS:
MRS = 1/(x1 + 1)2
בפיתרון פנימי יתקיים:
(1) p1x1+p2x2=I
(2) MRS = 1/(x1 + 1)2 = p1/p2
ממשוואה (2) נחלץ את x1
x1 = (p2/p1)1/2-1
נציב את שקיבלנו במשוואה (1) ונקבל:
p1[(p2/p1)1/2-1]+p2x2=I
17. אלו מהפונקציות הבאות הן פונקציות עלות? אם הפונקציה איננה פונקציית עלות נמק מדוע.
לכל פונקצייה שהיא אכן פונקציית עלות מצא את פונקציות העלות השולית והממוצעת. צייר אותן בדיאגמה (הנח לצורך הציורים כי מחירי כל גורמי הייצור הם דולר אחד ליחידה).
ציין האם פונקציית הייצור שממנה נגזרה העלות היא בעלת תשואה עולה, קבועה או יורדת לגודל.
17.1 C(y;pL,pK) = y2(pL1/2pK1/2)
17.2 C(y;pL,pK) = y2(pL1/2 + pK1/2)
17.3 C(y;pL,pK) = y1/2(pL + pK)
17.4 C(y;pL,pK) = (pL + pK)/y1/2
17.5 C(y;pL,pK) = y1/2Min{pL + 2pK, 2pL + pK)
17. פיתרון:
לפונקציית עלות יש (בין השאר) את התכונות הבאות: לא יורדת בתפוקת היעד, לא יורדת במחירי גורמי ייצור, והומוגנית מדרגה אחת במחירי גורמי ייצור. לפיכך, פונקצייה שאיננה מקיימת תכונות אלה, איננה פונקציית עלות. הפונקצייה ב 17.2 איננה הומוגנית מדרגה אחת, והפונקציה ב 17.4 יורדת בתפוקת היעד, ולכן אינן פונקציות עלות.
17.118. לפירמה שני מפעלים (איך לא?) שבכל אחד מהם ניתן לייצר מוצר ע"י גורם ייצור יחיד L.
פונקציית העלות בכל מפעל היא כמו בשאלה 17.6 לעיל.
מהי פונקציית העלות של הפירמה?
18. פיתרון:
כד ילמצוא את פונקציית העלות של הפירמה, נמצא עבור כל תפוקת יעד y את החלוקה האופטימלית של תפוקת היעד בין שני המפעלים:
Min C(y1;pL) + C(y-y1;pL)
כאשר y1 היא התפוקה המיוצרת במעל מספר אחת.
בפיתרון פנימי בו הן y-y1 והן y1 חיוביים מתקיים:
MC(y1;pL) - MC(y-y1;pL) = 0
במקרה שלפנינו:
2y1pL = 2(y-y1)pL
y1 = y-y1
y1 = ½y
נסמן ב K את פונקציית העלות של הפירמה. העלות מורכבת משלושה תחומים: האחד, תפוקת היעד היא אפס, ואז העלות היא אפס. השני הפירמה מפעילה רק מפעל יחיד (הפיתרון לבעייה שפתרנו לעיל הוא פינתי), והשלישי בו הפירמה מפעילה את שני המפעלים.
כאשר הפירמה מפעילה מפעל יחיד העלות היא (y2 + 1)pL
וכאשר היא מפעילה שני מפעלים העלות היא (½y2 + 2)pL. יש למצוא עבור איזו תפוקת יעד הפירמה אדישה בין להפעיל מפעל יחיד או שניים:
(y2 + 1)pL = (½y2 + 2)pL
y2 + 1 = ½y2 + 2
½y2 = 1
y = 21/2
לכן:
19.
לכל פונקציית עלות מצא את פונקצית ההיצע.
19.1 C(y;pL,pK) = y2(pL1/2pK1/2)
19.2 C(y;pL,pK) = y3(pL + pK)
19.3 C(0;pL) = 0, ועבור y>0: C(y;pL) = (y2 + 1)pL
19. פיתרון:
19.1 פונקציית העלות קעורה ב-y ולכן פונקציית ההיצע מתקבלת מפיתרון המשוואה העלות השולית שווה למחיר המוצר:
MC(y;pL,pK) = 2y(pL1/2pK1/2) = py
y*(py;pL,pK) = py/2(pL1/2pK1/2)
19.2 פונקציית העלות קעורה ב-y ולכן פונקציית ההיצע מתקבלת מפיתרון המשוואה העלות השולית שווה למחיר המוצר:
MC(y;pL,pK) = 3y2(pL + pK) = py
y2 = py/3(pL + pK)
y*(py;pL,pK) = py1/2/31/2(pL + pK)1/2
19.3נבדוק תחילה פיתרון פנימי כאשר העלות השולית שווה למחיר המוצר:
MC(y;pL) = 2ypL = py
y = py/2pL
עתה נבדוק מהו המחיר שעבורו הרווח הוא אפס. ניתן לעשות זאת ע"י השוואת העלות השולית לעלות הממוצעת:
MC(y;pL) = 2ypL = (y2 + 1)pL/y = AC(y;pL)
2ypL = (y2 + 1)pL/y
2y2 = y2 + 1
y2 = 1
y = 1
MC(1;pL) = 2pL
ולכן:
עבור py<2pL
y* = 0
עבור py=2pL
y* = 0 או y* = 1
עבור py>2pL
y* = py/2pL