תורת המחירים א
ד"ר ניר דגן

תרגילים

1. חברה לטלפון סלולרי מציעה ללקוחותיה שני מסלולים: במסלול א כל דקת זמן אויר עולה 0.50 שקלים, ואין הוצאות קבועות לחודש. במסלול ב כל דקת זמן אויר עולה 0.50 שקלים, שיחות למספר טלפון קבוע (לפי בחירת הצרכן) עולה 0.25 שקלים, ויש לשלם 10 שקלים סכום קבוע כל חודש. הנח כי לצרכן 200 שקלים בחודש לצורך שימוש בטלפון הסלולרי.
אפיין וצייר את קבוצת האפשרויות של הצרכן. צייר על ציר אחד שיחות למספר המועדף ועל הציר השני שיחות לשאר המספרים. האם ישנה בנתוני השאלה מסלול מסוים עדיף בוודאות?

2. צרכן החי יומיים, צורך שני מוצרים "בוטנים היום" ו"בוטנים מחר". הסל התחילי שלו כולל 2 קילו בוטנים היום ו-2 קילו בוטנים מחר.
2.1 הצרכן יכול ללות ולהלוות בוטנים בשער ריבית יומי של 10%. חשב את קבוצת התקציב של הצרכן. מהו יחס המחירים בין בוטנים היום ובוטנים מחר?
2.2 עתה הנח, כי הצרכן יכול ללות בריבית 20% ולהלוות (לחסוך) בריבית של 10% כיצד תיראה קבוצת האפשרויות שלו כעת?

3. נתון יחס ההעדפה:
x עדיף מ- או שקול ל- y אם ורק אם x1x2 ≥ y1y2
צייר את אזורי האדישות ביחס לסלים (2,1) ו (1,3)

4. נתון יחס ההעדפה:
x עדיף מ- או שקול ל- y אם ורק אם x1 + x2 + 1 ≥ y1 + y2
4.1 האם הוא מקיים שלמות וטרנזיטיביות?
4.2 מצא את היחס מעדיף (ממש) מ- ואת יחס השקילות (אדישות). האם היחסים האלה מקיימים טרנזיטיביות?

5. נתון יחס ההעדפה:
x עדיף מ- או שקול ל- y אם ורק אם x1 + x2 - 1 ≥ y1 + y2
5.1 האם הוא מקיים שלמות וטרנזיטיביות?
5.2 מצא את היחס מעדיף (ממש) מ- ואת יחס השקילות (אדישות). האם היחסים האלה מקיימים טרנזיטיביות?

6. לכל פונקציית תועלת
א. צייר שלוש עקומות אדישות, ביחס לסלים (0,0) (1,2) (3,3). כתוב את רמת התועלת ליד העקומה.
ב. ציין אם יחס ההעדפה המיוצג מקיים מונוטוניות וקמירות.

6.1 U(x) = x12x2
6.2 U(x) = x2 - 1/(x1 + 1)
6.3 U(x) = (x1 + 1)x2

7. לצרכן פונקציית תועלת U(x) = x2 + x1½ פתור את בעיית הצרכן במקרים הבאים. בכל מקרה ציין אם הפיתרון הוא פנימי או פינתי.
7.1‏ I=100; p=(10,60)
7.2‏ I=200; p=(10,60)
7.3‏ I=50; p=(10,60)

8. לכל פונקציית תועלת מצא את פונקציית הביקוש.

8.2 U(x) = x2 - 1/(x1 + 1)
8.3 U(x) = log(x1+1) + 2log(x2+1)

9. לכל פונקציית ביקוש שמצאת בתרגיל 8 לעיל צייר את עקומת הביקוש הרגיל למצרך מספר 1, את עקומת הביקוש הצולב למצרך 1 לפי מחיר מצרך 2, ואת עקומת אנגל. אם מחירים או העושר התחילי קבועים עבור העקומה הנח כי הם שווים ל 1.

10. לכל פונקציית תועלת ציין אם יחס ההעדפה המיוצג מקיים מונוטוניות וקמירות. מצא את פונקצית הביקוש למצרך 1.

10.1 U(x) = x12 + x22
10.2 U(x) = x2 - x1
10.3 U(x) = x2 + (5 - x1)2

11. לכל פונקציית תועלת מצא את פונקציית הביקוש.

11.1 U(x) = x11/2 + x21/2
11.2 U(x) = Min{2x1, 3x2}

12. לכל פונקציית תועלת לעיל צייר את עקומת הביקוש הרגיל למצרך מספר 1, את עקומת הביקוש הצולב למצרך 1 לפי מחיר מצרך 2, ואת עקומת אנגל. אם מחירים או העושר התחילי קבועים עבור העקומה הנח כי הם שווים ל 1.

13. נתונה פונקציית הייצור: f(L,K) = LaKb כאשר L כמות העבודה, K כמות ההון, ו-a ו-b קבועים חיוביים.
13.1 מה התפוקה השולית של עבודה? מה התפוקה הממוצעת?
13.2 התווה את עקומות התפוקה השולית והממוצעת של עבודה עבור K=10, a=b=1/3
13.3 התווה את עקומות התפוקה השולית והממוצעת של עבודה עבור K=10, a=b=4/3
13.4 עבור אילו ערכים של a ו-b התפוקה השולית של העבודה פוחתת?

14. לפירמה שני מפעלים שבכל אחד מהם ניתן לייצר מוצר ע"י גורם ייצור יחיד a‏.
14.1 פונקציית הייצור בכל מפעל היא f(a) = a1/2 מהי פונקציית הייצור של הפירמה? רמז: הפירמה תחלק את גורם הייצור שתקנה בצורה אופטימלית בין שני המפעלים.
14.2 עתה הנח שפונקציית הייצור בכל מפעל היא f(a) = a2 מהי פונקציית הייצור של הפירמה?

15. לכל פונקציית ייצור מצא את פונקציית העלות. כמו כן צייר את פונקציית העלות בדיאגמה. הנח לצורך הציורים כי מחירי כל גורמי הייצור הם דולר אחד ליחידה.
15.1f(L,K) = L1/2K1/2
15.2f(L,K) = 2L+K

16. לפירמה שני מפעלים שבכל אחד מהם ניתן לייצר מוצר ע"י גורם ייצור יחיד a‏.
פונקציית הייצור בכל מפעל היא f(a) = a1/2 מהי פונקציית העלות של הפירמה? רמז: ניתן לפתור בשתי דרכים. האחת להשתמש בפיתרון של תרגיל 14 והשנייה לחשב ישירות את בעיית מינימזציה של עלות.

17. אלו מהפונקציות הבאות הן פונקציות עלות? אם הפונקציה איננה פונקציית עלות נמק מדוע. לכל פונקצייה שהיא אכן פונקציית עלות מצא את פונקציות העלות השולית והממוצעת. צייר אותן בדיאגמה (הנח לצורך הציורים כי מחירי כל גורמי הייצור הם דולר אחד ליחידה). ציין האם פונקציית הייצור שממנה נגזרה העלות היא בעלת תשואה עולה, קבועה או יורדת לגודל.
17.1C(y;pL,pK) = y2(pL1/2pK1/2)
17.2C(y;pL,pK) = y2(pL1/2 + pK1/2)
17.3C(y;pL,pK) = y1/2(pL + pK)
17.4C(y;pL,pK) = (pL + pK)/y1/2
17.5C(y;pL,pK) = y1/2Min{pL + 2pK, 2pL + pK)

17.6C(0;pL) = 0, ועבור y>0‏: C(y;pL) = (y2 + 1)pL

18. לפירמה שני מפעלים (איך לא?) שבכל אחד מהם ניתן לייצר מוצר ע"י גורם ייצור יחיד L‏.
פונקציית העלות בכל מפעל היא כמו בשאלה 17.6 לעיל. מהי פונקציית העלות של הפירמה?

19. לכל פונקציית עלות מצא את פונקצית ההיצע.
19.1C(y;pL,pK) = y2(pL1/2pK1/2)
19.2C(y;pL,pK) = y3(pL + pK)
19.3C(0;pL) = 0, ועבור y>0‏: C(y;pL) = (y2 + 1)pL