הסיכום להלן הינו חלקי בלבד, ואיננו כולל את כל החומר הנלמד בכיתה. בנוסף משקל הפרק בסיכום, איננו ראייה למשקל הפרק במבחן. בפרט הנושא של שיווי משקל הוא מרכזי בקורס.
נניח שבמשק (למשל באנגליה) ניתן לייצר שני מוצרים שונים: חיטה ויין. נסמן את כמות החיטה ב-x ואת כמות היין ב-y.
מושג בסיסי: קבוצת אפשרויות הייצור היא קבוצת כל צירופי הייצור (זוגות של כמויות) של חיטה ויין שניתן לייצר במשק בתקופת זמן נתונה (למשל שנה).
אנו מניחים שקבוצת אפשרויות הייצור מקיימת את התכונות הבאות:
הגדרה: בהינתן קבוצת אפשרויות ייצור, עקומת התמורה היא קבוצת כל צירופי הייצור ש:
משפט: תחת הנחות 0, 1, ו-2 עקומת התמורה היא לא ריקה.
משפט: אם (x1,y1) ו-(x2,y2) שייכים לעקומת התמורה, אז:
הגדרה: בהינתן קבוצת אפשרויות ייצור, וצירוף ייצור בעקומת התמורה, העלות האלטרנטיבית לייצור X היא התוספת המקסימלית של Y שניתן לייצר, אילו לא היו מייצרים ממוצר X כלל.
אבחנה: ככל ש-X גדול יותר, העלות האלטרנטיבית לייצורו גדולה יותר.
הגדרה: בהינתן קבוצת אפשרויות ייצור, וצירוף ייצור בעקומת התמורה, העלות האלטרנטיבית השולית לייצור X היא הנגזרת של Y לפי X בצירוף הייצור האמור, על פני עקומת התמורה.
אנו נניח "עלות אלטרנטיבית שולית לא-יורדת" כלומר, ככל ש-X גדול יותר, העלות האלטרנטיבית השולית לייצורו (כל עוד היא מוגדרת) איננה קטנה יותר.
על פי רוב, משק מתואר בין השאר ע"י תיאור הטכנולוגיה, וכמויות גורמי הייצור הנתונות למשק. מתוך נתונים אלה ניתן לחשב את קבוצת אפשרויות הייצור ןעקומת התמורה. עשינו מספר דוגמאות בשיעור ובתרגילים.
נדון במשק שיש לו אפשרויות ייצור, ובנוסף יכול לסחור עם גורמים מחוץ למשק לפי יחס מחירים px/py. אם המשק מייצר (x0,y0) הוא יכול לצרוך כל צירוף המקיים: pxx+pyy≤pxx0+pyy0
הגדרה: בהינתן קבוצת אפשרויות ייצור ויחס מחירים, קבוצת אפשרויות הצריכה היא קבוצת כל הצירופים ששוים הכספי קטן או שווה לערכו הכספי של איזה צירוף ייצור אפשרי.
אבחנה: ניתן למצוא את קבוצת אפשרויות הצריכה ע"י פיתרון הבעייה: מצא את צירוף הייצור האפשרי בעל השוווי הכספי הגדול ביותר.
אבחנה: קבוצת אפשרויות הצריכה תמיד מכילה את קבוצת אפשרויות הייצור.
נניח שיש במשק "כלל צריכה" המאפיין איזה צירוף הצרכנים יצרכו בכל קבוצת אפשרויות צריכה. הכלל בוחר צירוף על "קו אפרויות הצריכה המקסימלי" שבו יש תמיד כמויות חיוביות משני המצרכים. כלל הצריכה מבטא בחירה אופטימלית. כך שבקבוצת אפשרויות גדולה יותר הצירוף הנבחר טוב יותר.
משק סגור הוא משק שלא מקיים סחר עם גורמים מחוץ למשק. גם במשק כזה אפשר לדבר על תנאי סחר...:
הגדרה: שיווי משקל במשק סגור הוא יחס מחירים, תוכניות ייצור, ותוכניות צריכה, המקיימים:
משפט: בשיווי משקל במשק סגור יחס המחירים יהיה עלות האלטרנטיבית השולית לייצור X
במודל ריקרדו אנו מניחים:
הגדרה: אנו אומרים שלמשק א יש יתרון יחסי בייצור X אם העלות האלטרנטיבית השולית לייצור X נמוכה יותר במשק א מאשר במשק ב.
הגדרה: שיווי משקל הוא יחס מחירים, תוכניות ייצור, ותוכניות צריכה, המקיימים:
משפט: בשיווי משקל
אנו מניחים כי הייצור במשר נעשה ע"י מוסדות שנקראים פירמות. כל פירמה מציודת בידע טכנולוגי המתואר ע"י פונקציית ייצור. הפירמה התחרותית, רואה את מחירי השוק של המוצרים וגורמי הייצור כנתונים ופועלת להשגת רווח מקסימלי.
הגדרה: פונקציית הייצור היא פונקצייה המתאימה לכל צירוף של גורמי ייצור את התפוקה המקסימלית של המוצר שניתן לייצר מצירוף זה.
למשל, אם המוצר X מיוצר ע"י גורם ייצור יחיד L, פונקציית הייצור תהיה: X=f(L).
הגדרה: בהינתן צירוף של גורמי ייצור, התפוקה השולית של גורם הייצור L היא הנגזרת של פונקציית הייצור לפי L בצירוף האמור. התפוקה השולית נמדדת ביחידות מוצר ליחידת גורם ייצור.
למשל, כאשר פונקציית הייצור היא: X=f(L)=2L0.5, התפוקה השולית של L כאשר כמות L היא L0=16 היא: f'(L0)=L0-0.5=0.25.
הגדרה: בהינתן פונקציית ייצור, פונקציית העלות מתאימה לכל כמות של מוצר ולכל רשימת מחירי גורמי ייצור, את העלות המינימלית הדרושה לייצור הכמות האמורה.
למשל, כאשר פונקציית הייצור היא: X=f(L)=2L0.5, מפני שיש רק גורם ייצור יחיד, ניתן פשוט לחלץ את כמות L הדרושה לייצור כל רמת תפוקה X:
X=2L0.5 ⇒ L=X2/4. נסמן ב-w את שכר העבודה (מחיר גורם הייצור). מכאן שפונקציית העלות היא:
C(X,w)=wX2/4.
הגדרה: בהינתן פונקציית עלות C(X,w), פונקציית העלות השולית היא פונקציית הנגזרת של העלות ביחס לכמות המוצר X, כלומר MC(X,w)=dC(X,w)/dX ופונקציית העלות הממוצעת היא הפונקציה: AC(X,w)=C(X,w)/X
בדוגמא: MC(X,w)=dC(X,w)/dX=wX/2 ו-AC(X,w)=C(X,w)/X=wX/4
אנו מניחים שהפירמה מעונינת בהשגת רווח מקסימלי. בנוסף אנו מניחים כי פירמה "תחרותית" רואה את מחיר השוק של המוצר ומחירי השוק של גורמי הייצור כנתונים, ופועלת לבחירת כמויות גורמי הייצור, וכמות המוצר שיביאו את רווחיה למקסימום.
ניתן להתייחס לבעיה כאילו הפירמה בוחרת כמויות גורמי ייצור שמביאות את הרווח למקסימום. במקרה זה הכמות מהמוצר תיקבע ע"י כמויות גורמי הייצור ופונקציית הייצור:
max Pxf(L)-wL
Px הוא מחיר המוצר X, ו-w מחיר גורם הייצור L, ו-f(L) היא פונקציית הייצור.
המקסימום מושג כאשר מתקיים תנאי הסדר הראשון (גוזרים ומשווים לאפס): Pxf'(L)-w=0 או Pxf'(L)=w. אגף שמאל הוא ערך התפוקה השולית, ואילו אגף ימין מחיר גורם הייצור. כלומר הפירמה תבחר כמות גורם ייצור כך שמחירו יהיה שווה לערך התפוקה השולית.
לחילופין אפשר להתבונן בבעיה כאילו הפירמה בוחרת כמות מהמוצר, ואילו כמות גורם הייצור נקבעת ע"י בחירת העלות המינימלית לייצור המוצר:
max PxX-C(X,w)
.תנאי סדר ראשון הפעם הוא: Px-MC(X,w)=0 או Px=MC(X,w), כלומר הפירמה תבחר כמות בה מחיר המוצר שווה לעלות השולית.
מפיתרון בעית המקסימיזציה של רווח ניתן לחשב את:
למשל אם פונקציית הייצור היא X=f(L)=2L0.5, קיבלנו כי במקסימום רווח: Pxf'(L)=w. כמו כן חישבנו את התפוקה השולית: f'(L)=L-0.5. נציב בתנאי למקסימום רווח ונקבל: PxL-0.5=w. מהמשוואה האחרונה ניתן לקבל: L=Px2/w2. כלומר הביקוש לגורם הייצור מתקבל: L(Px,w)=Px2/w2. כדי לחשב את ההיצע, ניתן להציב את הביקוש לגורם הייצור בפונקציית הייצור: X(Px,w)=f(L(Px,w))=2[Px2/w2]0.5=2Px/w. את הרווח ניתן לקבל ע"י: π(Px,w)=PxX(Px,w)-wL(Px,w)=Px2/w.
ניתן למצוא את ההיצע והרווח גם ע"י שימוש בתנאי האלטרנטיבי שמצאנו, שהעלות השולית שווה למחיר המוצר במקסימום רווח. בדוגמא שלנו: MC(X,w)=wX/2=Px ונקבל: X=2Px/w.
הצרכן הוא יחידה כלכלית העוסקת בצריכה. צריכה היא שימוש סופי במצרך, כך שלא ניתן להשתמש בו לאחר צריכתו. טנו מניחים שהצרכנים לא עוסקים בייצור. בפועל, ההנחה הזאת איננה משמעותית, כי בשוק תחרותי ניתן להפריד לחלוטין את החלטות הייצור מהחלטות הצריכה, גם אם היינו מניחים שיש יחידות שעוסקות בשתי הפעילויות.
אנו מניחים כי לצרכן יש עושר כספי (הכנסה) נתון. נסמן עושר זה ב-I. בנוסף נניח שהצרכן צורך מספר מצרכים (למשל שני מצרכים X ו-Y), שמחיריהם הם Px ו-Py בהתאמה.
הגדרה: קבוצת התקציב של הצרכן היא קבוצת כל אותם סלי מצרכים שניתן לרכוש בשוק עם ההכנסה הנתונה, או פחות ממנה:
B(Px,Py,I)={(X,Y) | PxX+PyY≤I}
הגדרה: קו התקציב הוא הקו: PxX+PyY=I.
הערה: קו התקציב הוא גבול אפשרויות הצריכה של הצרכן.
מפני שהצרכן בוחר בסופו של דבר סל מקבוצת התקציב, ברור שבחירתו איננה רק פונקצייה של מחיר המוצר, אלא גם של מוצרים אחרים והכנסתו הכספית.
הגדרה: פונקציית הביקוש למצרך X היא פונקצייה המתאימה לכל רשימת מחירים והכנסה כספית את כמות X שהצרכן בוחר מהמצרך X.
נסמן את פונקציית הביקוש למצרך X ע"י X(Px,Py,I).
אנו תמיד נניח שהצרכן צורך סלים שנמצאים על קו התקציב, וכן שעליית מחיר מצרך לעולם איננה גוררת עלייה בכמות המבוקשת ממנו.
הטבלה הבאה מייצגת התנהגויות שונות אפשריות של צרכן, ואת הכינוי שאנו מכנים את ההתנהגות:
| עלייה ב... | השינוי בכמות X | הכינוי |
|---|---|---|
| הכנסה | עלייה | X נורמלי |
| ללא שינוי | X ניטרלי | |
| ירידה | X נחות | |
| מחיר Y | עלייה | X תחליף ל-Y |
| ללא שינוי | X בלתי תלוי ב-Y | |
| ירידה | X משלים ל-Y |
גמישות הביקוש היא מדד לרגישות של הביקוש לשינויים בחיר המוצר. היא מודדת את השינוי היחסי בכמות לחלק לשינוי היחסי במחיר המוצר:
הגדרה: בהינתן פונקציית ביקוש למצרך X: X=X(P), גמישות הביקוש היא: η(P)=(dX/dP)P/X.
גמישות הביקוש היא לא חיובית, כי אנו מניחים שהכמות לעולם איננה עולה במחיר, ולכן dX/dP≤0.
הטבלה הבאה מסכמת אם הקשר בין הגמישות לשינוי בהוצאת הצרכן על המוצר כאשר המחיר עולה:
| כינוי | שינוי ב-PX כתוצאה מעלייה ב-P | |
|---|---|---|
| -1<η≤0 | גמישות קטנה מיחידתית | עולה |
| η=-1 | גמישות יחידתית | ללא שינוי |
| η<-1 | גמישות גדולה מיחידתית | יורדת |
שיווי משקל תחרותי הוא מושג מרכזי בכלכלה. הנחות היסוד הן:
נדון בשוק למוצר יחיד X. אם נתונות פונקציית היצע של כלל הפירמות בשוק, S(P), ופונקציית ביקוש של כלל הצרכנים בשוק, D(P), מחיר שיווי משקל יהיה המחיר P* שפותר את המערכת: S(P)=D(P). הכמות הנסחרת בשיווי משקל היא: X*=S(P*)=D(P*)
לעיתים במקום פונקציות היצע וביקוש של השוק, נתונות פונקציות ההיצע של כל יצרן ויצרן, ופונקציות הביקוש של כל צרכן וצרכן. במקרה זה כדי למצוא את שיווי המשקל יש לחשב את פונקציית ההיצע והבחקוש של השוק ע"י חיבור הפונקציות של היחידות הבודדות. לאחר שחישבנו את מחיר שיווי המשקל, ניתן יהיה לחשב במקרה זה, את ההיצע של כל פירמה בנפרד, וכן את כמות המצרך הנרכשת ע"י כל צרכן.
למרות שאנו מנתחים שוק יחיד, פונקציות הביקוש וההיצע מושפעות מנתונים מחוץ לשוק המדובר. למשל פונקצית ההיצע היא גם פונקציה של מחירי גורמי הייצור. פונקציית הביקוש היא גם פונקציה של מחירי מצרכים אחרים, והכנסות הצרכנים. במציאת שיווי המשקל אנו מניחים שכל הנתונים החיצוניים האלה הם קבועים. יחד עם זאת, ניתן לנתח מה קורה אילו חלק מהנתונים החיצוניים ישתנה, כיצד ישפיע הדבר על שיווי המשקל בשוק בו אנו דנים.
ההבדל בין שיווי משקל בשוק אחד ובין זה של מערכת שווקים, הוא שהתנאי שהכמות המבוקשת שווה לכמות המוצעת, חל בכל שוק ושוק, והמחירים נקבעים באופן סימולטני במערכת. למשל אם נוסיף למערכת שלנו שוק של גורם ייצור המשמש בייצור X, נקבל מערכת כזאת:
Sx(P,w)=Dx(P)
SL(w)=DL(P,w)
המשוואה הראשונה היא תנאי שיווי משקל בשוק X והשנייה בשוק גורם הייצור L. מפני ששני המחירים מופיעים בשתי המשוואות, אנו רואים שהפיתרון נקבע סימולטנית בשני השווקים.
אנו נדון בשוק יחיד, שבו במקום פירמות רבות, יש רק פירמה יחידה - מונופול. מפני שההנחה שהפירמות רטאות את המחירים כנתונים, איננה משכנעת במצב זה, אנו מניחים שהמונופול מודע לקשר בין המחיר שיקבע ובין הכמות שיוכל למכור לפי פונקציית הביקוש של השוק.
בהינתן פונקציית ביקוש X=D(P), ניתן לחשב את פונקציית המחיר ע"י הפיכת פונקציית הביקוש, כלומר ע"י חילוץ P כפונקצייה של X. נסמן פונקצייה זו ב-P=P(X). הפידיון של המונופול כפונקצייה של כמות X הוא R(X)=XP(X). מכאן שהמונופול כדי להשיג רווח מקסימלי יפתור את הבעיה:
max R(X)-C(X)
תנאי סדר ראשון לפיתרון הוא:
MR(X)-MC(X)=0 או MR(X)=MC(X), כאשר MR הוא הפידיון השולי, ו-MC היא העלות השולית.
מפני שהפידיון השולי נמוך מהמחיר, הפיתרון יתקבל בכמות קטנה יותר ומחיר גבוה יותר מאשר בשיווי משקל תחרותי.
הגדרה: זרם הכנסות הוא סדרה (ייתכן אינסופית) של מספרים: (X0,X1,X2,...)
המספרים בסדרה מייצגים סכומי כסף שמקבלים בתקופות שונות. מספר חיובי אומר שמקבלים כסף, ומספר שלילי שנותנים כסף. האינדקס מסמן את התקופה, כאשר 0 מייצג את עכשיו וכל מספר-t נקודת זמן המתרחשת t תקופות מעכשיו. אורך התקופה הוא קבוע (למשל, שנה או חודש).
אנו נניח שקיים שוק הון משוכלל, כלומר שניתן ללוות ולהלוות כל סכום בשר הריבית של השוק. בנוסף, לשם פשטות בחישובים, נניח ששער הריבית בין כל שתי תקופות הוא זהה.
כאשר קיים שוק הון משוכלל כאמור, ניתן לייחס לכל זרם הכנסות את הערך הנוכחי שלו. הערך הנוכחי של זרם הכנסות מייצג את סך הכסף שניתן לקבל היום מזרם נתון ע"י מתן ןלקיחת הלוואות בצורה כזו שיאפס את כל התקבולים והתשלומים העתידיים.
הגדרה: הערך הנוכחי של זרם הכנסות (X0,X1,X2,...) כאשר שער הריבית לתקופה הוא r הוא: X0+X1/(1+r)+X2/(1+r)2+...+Xt/(1+r)t+...
נדון בזרם הכנסות הזה: X0=0 ולכל t>0 מתקיים Xt=X. כלומר מדובר בזרם שנותן X שקלים בכל תקופה (אבל לא עכשיו).
ניתן להראות שהערך הנוכחי של זרם זה הוא PV=X/r. זרם זה הוא בעצם שקול לתקבולי ריבית בסך X בכל תקופה כאשר הקרן היא X/r. הקרן לעולם איננה מוחזרת.
כעת נדון בזרם הכנסות הזה: X0=0 ולכל 0<t≤T מתקיים Xt=X, ולכל T<t מתקיים Xt=0. כלומר מדובר בזרם שנותן X שקלים במשך T תקופות.
ניתן ע"י חיסור של שני זרמים אינסופיים להראות שהערך הנוכחי של זרם זה הוא PV=(X/r)[1-1/(1+r)T].
עקומת לורנץ היא דרך להציג את התפלגות ההכנסות במשק. מסדרים את המשפחות בסדר עולה של הכנסות, מהענייה ביותר עד העשירה ביותר. על הציר האופקי מציינים את השיעור המצטבר של משפחות ועל הציר האנכי את השיעור המצטבר של הכנסות. כך שקומת לורנץ מצוירת בתוך ריבוע היחידה וכולה עוברת מתחת האלכסון, פרט לנקודות הקצה. (אם כל ההכנסות במשק שוות אז העקומה תתלכד עם האלכסון.)
אם עקומת לורנץ אחת גבוהה יותר מעקומת אחרת, זו הגבוהה יותר (הרובה יותר לאלכסון) מייצגת חלוקת הכנסות שיויונית יותר. יחד עם זאת ייתכן ששתי עקומות לורנץ יחתכו זו את זו.
מדד ג'יני הוא פונקציה המתאימה לכל עקומת לורנץ מספר בין אפס לאחת. כאשר אחת מייצג אי-שיויון מוחלט ואפס מייצג שיויון מלא. המדד מחושב כשטח שבין קו האלכסון ועקומת לורנץ כפול שתיים. ההכפלה בשתיים נועדת לנרמל את המדד כך שייתן אחת כאשר יש אי שיויון מוחלט.
מיסים ישירים הם מיסים המוטלים על הכנסות של יחידים ורווחים של עסקים.
בישראל המיסים הישירים העיקריים הם:
מיסים עקיפים הם מיסים המוטלים על עסקאות מסוימות בלי קשר להכנסה או רווחים של הצדדים לעסקה.
בישראל המיסים העקיפים העיקריים הם:
מס ישיר - למשל מס הכנסה - נקרא פרוגרסיבי, אם שיעור המס מההכנסה הולך וגדל עם ההכנסה. כאשר יש מדרגות מס שולי עולות, אז המס יהיה פרוגרסיבי. מס ששיעורו קטן עם ההכנסה נקרא מס רגרסיבי. הטלת מס פרוגרסיבי תגרום לכך שהתפלגות ההכנסות לאחר מס תהיה שיויונית יותר מהתפלגות ההכנסות לפני מס. באופן דומה למס רגרסיבי יש את האפקט ההפוך. בנוסף יש מס יחסי. מס זה הוא בשיעור קבוע ולכן איננו פרוגרסיבי ואיננו רגרסיבי, וכן לא משפיע על אי השיויון בהתפלגות ההכנסות.