משחקים בצורה אסטרטגית - שאלות ממבחנים

1. שני שחקנים אמורים לחלק ביניהם 2 מטבעות זהב שווים. המשחק מתנהל סימולטנית. שחקן 1 מחלק את המטבעות בין שתי צלחות הנסתרות משחקן 2. (ניתן להשאיר צלחת ריקה כמובן). ושחקן 2 בוחר איזו צלחת (ימנית או שמאלית) הוא לוקח לעצמו. לכל שחקן תועלת כמספר המטבעות שקיבל.

1.1 נסח את המשחק בצורה פורמלית, ושרטט מטריצת המשחק.

1.2 האם קיים שיווי משקל נאש באסרטגיות טהורות? אם כן מהו?

1.3 מצא את שיוווי המשקל באסטרטגיות מעורבות? (שימו לב יש רבים)

1.4 איך היתה משתנית תשובתך לסעיף 1.3 לעיל אילו השחקנים היו שונאי סיכון?

פיתרון 1.1

0,2	2,0
1,1	1,1
2,0	0,2

פיתרון 1.2

0,2*	2*,0
1,1*	1,1*
2*,0	0,2*

אין שיווי משקל באסטרטגיות טהורות.

פיתרון 1.3

כאשר שחקן העמודות נותן משקל גדול מ-½ על אחת העמודות, שחקן השורות יעדיף לבחור את השורה העליונה או התחתונה, ואין שיווי משקל כזה. כאשר שחקן העמודות בוחר בהסתברות שווה את שתי העמודות, שחקן השורות אדיש בין שלוש השורות. עתה נבדוק באילו אסטרטגיות מעורבות של שחקן 1, שחקן 2 יהיה אדיש בין שתי העמודות. נסמן ב-p את ההסתברות לשורה הראשונה וב-q את ההסתברות לשורה השנייה. צריך להתקיים:

p*2+q*1+(1-p-q)*0=p*0+q*1+(1-p-q)*2 או:

p*2=(1-p-q)*2 או:

p=1-p-q

כלומר שההסתברות לשורה הראשונה והאחרונה הם אותו הדבר.

2.מצא את כל שיווי המשקל נאש, כולל באסטרטגיות טהורות ומעורבות במשחקים הבאים:

9*,9* 1,8 4,3 8,1 7*,7* 1,6 6,8 4,12* 8*,8

1*,6* 0,0 0,0 5*,2*

1,1 4*,4* 4*,4* 1,1 2,2* 2,2*

3*,6* 0,0 0,0 8*,2*

1,1 3*,6* 8*,2* 1,0

1*,1* 4*,0 0,4* 3,3

4*,3* 1,1 0,0 2*,6*

10*,9* 0,0 12*,8 1,3 4*,4* 5,2

0,1 6*,2* 1*,5* 3,2

10*,12* 0,3 0,0 6*,5*

4*,2* 5,0 2*,1 2,0 7*,4* 1,1

0,1 5*,2* 2*,5* 3,2

10*,12* 2,2 0,0 6*,5*

4*,3* 5,1 2*,0 2,0 7*,1 1,3*

10*,12* 0,1 0,0 6*,5*

4*,3* 5,2 2*,0 2,0 7*,2 1,3*

0,1* 5*,1* 2*,5* 3,2

10*,12* 0,0 0,0 6*,6*

4*,3* 5,2 2*,3* 2,0 7*,2 1,3*