חזרה לתורת המשחקים

תרגילים בתורת המשחקים

נא להגיש ב-18 בינואר את הפתרונות לתרגילים: 1,3,7,16,17

1.מצא את כל שיווי המשקל נאש, כולל באסטרטגיות מעורבות במשחקים הבאים:

  9,8        1,12
 10,1        0,0

  10,9       1,8
  8,1        6,7

  9,9       1,8
  8,1       7,7
  6,8       4,12

  10,9       1,6
  6,1        3,3

  1,6       0,0
  0,0       5,2

  9,9       1,8   8,6
  8,1       7,7   10,5

2. שני שחקנים אמורים לחלק ביניהם 2 מטבעות זהב שווים. המשחק מתנהל סימולטנית. שחקן 1 מחלק את המטבעות בין שתי צלחות הנסתרות משחקן 2. (ניתן להשאיר צלחת ריקה כמובן). ושחקן 2 בוחר איזו צלחת (ימנית או שמאלית) הוא לוקח לעצמו. לכל שחקן תועלת כמספר המטבעות שקיבל.

2.1 נסח את המשחק בצורה פורמלית, ושרטט מטריצת המשחק.

2.2 האם קיים שיווי משקל נאש באסרטגיות טהורות? אם כן מהו?

2.3 מצא את שיוווי המשקל באסטרטגיות מעורבות? (שימו לב יש רבים)

2.4 איך היתה משתנית תשובתך לסעיף 2.3 לעיל אילו השחקנים היו שונאי סיכון?

3.

3.1 נתון המשחק הבא בצורה רחבה. צייר את עץ המשחק ומצא את שיוויי משקל SPE שלו.

קבוצת השחקנים: {1,2}
היסטוריות סופניות: {(C,E),(C,F),(D,G),(D,H)}
פונקציית השחקנים: P(∅)=1, P(C)=2, P(D)=2
פונקציית התועלת של שחקן 1: u1(C,E)=3, u1(C,F)=2, u1(D,G)=1, u1(D,H)=0
פונקציית התועלת של שחקן 2: u2(C,E)=3, u2(C,F)=5, u2(D,G)=2, u2(D,H)=1

3.2 נתון המשחק הבא בצורה רחבה. צייר את עץ המשחק ומצא את שיוויי משקל SPE שלו.

קבוצת השחקנים: {1,2}
היסטוריות סופניות: {(C,E),(C,F),(D,G),(D,H)}
פונקציית השחקנים: P(∅)=1, P(C)=2, P(D)=2
פונקציית התועלת של שחקן 1: u1(C,E)=2, u1(C,F)=3, u1(D,G)=0, u1(D,H)=1
פונקציית התועלת של שחקן 2: u2(C,E)=1, u2(C,F)=0, u2(D,G)=2, u2(D,H)=3

7. שני אספני בולים מעונינים לרכוש בול נדיר המוצע למכירה במכרז. הערך של הבול עבור האספן ה-i הינו vi. וכן v1>v2>0. כל אספן i יכול להגיש הצעת מחיר כתובה bi≥0 . האספן שהציע את הסכום הגבוה ביותר זוכה במכרז, ומשלם את המחיר השני הגבוה ביותר שהוצע. אם שני השחקנים הציעו אותו מחיר, מוטל מטבע בהסתברויות שוות כדי להחליט מי זוכה במכרז. כך שהתועלת של האספנים היא:
כאשר bi>bj אז ui = vi - bj
כאשר bi=bj אז ui = (vi - bj)/2
כאשר bi<bj אז ui = 0

7.1 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 1 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.

7.2 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 2 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.

7.3 עתה הנח כי המשחק מתקיים בתורות. תחילה שחקן 1 מכריז הצעה ולאחר מכן שחקן 2. הוכח שבשיווי משקל subgame perfect שחקן 2 לעולם אינו זוכה במכרז. (לא חייבים לחשב את כל שיווי המשקל subgame perfect של המשחק)

7.4 עתה הנח כי המשחק מתקיים בתורות. תחילה שחקן 2 מכריז הצעה ולאחר מכן שחקן 1. הצג שיווי משקל subgame perfect שבו שחקן 2 זוכה במכרז. הוכח שזו אכן שיווי משקל. הקפד לתאר בצורה מלאה ומדויקת את האסטרטגיה של שחקן 1.

7.5 עכשיו הנח שכללי המכרז הם שונים, והזוכה במכרז משלם את המחיר שהציע הוא עצמו. כמו כן הנח שחייבים להציע הצעה בשקלים שלמים, וש v1=10½, v2=5½. נסח מחדש את פונקציות התועלת של השחקנים.

7.6 מצא את שיווי המשקל (ישנם כמה) במשחק החדש.

9. יש שני שחקני והם צריכים לחלק בינהם שתי מטבעות זהב שווי ערך. שחקן מספר 1 מציע חלוקה, ושחקן מספר ש 2 צריך להסכים או לסרב. המשחק נגמר בשלב זה. אם השחקן 2 הסכים להצעה התועלות הן לפי ההצעה, אם סירב, שניהם מקבלים 0.

9.1 נסח את המשחק בצורה פורמלית.
9.2 מצא את כל שיווי המשקל ה SPE של המשחק.
9.3 מצא שיווי משקל נאש השונה משווי המשקל שמצאת לעיל.

10. להלן שלושה משחקים. מצאו את שיוויי המשקל.

4,42,5
5,20,0
4,4 2,  6  0,  2
5,2-1,-10  0,  0
3,0 0,  0100,100
 1,-1-2, 2
-4, 4 3,-3

11. לראובן ושמעון יש עשר מטבעות זהב בבעלותם המשותפת. עליהם לחלק אותן ביניהם לפי הכללים הבאים: כל שחקן רושם על פתק מספר שלם בין אחת לעשר המייצג את מטבעות שהוא רוצה לעצמו. אם סכום שני המספרים קטן או שווה לעשר כל אחד מקבל את מה שביקש, ושאר הכסף נתרם לצדקה. אם הסכום עולה על עשר, והם ביקשו מספרים שונים, זה שביקש פחות מקבל את מה שביקש האחר, וזה שביקש יותר מקבל את מה שנשאר. אם הסכום עולה על עשר אבל שניהם ביקשו אותו סכום, כל אחד מקבל חמישה מטבעות. לשני השחקנים יש תועלת רק ממספר המטבעות שהם עצמם מקבלים. אין להם תועלת מצדקה או ממה שמקבל השותף.

תארו את המשחק באופן פורמלי. כלומר ציינו מהי קבוצת הפעולות של כל שחקן ומהי פונקציית התועלת.

מצאו את שיוויי המשקל במשחק. מומלץ להשתמש בטבלה המציגה את פונקציות המענה הטוב ביותר.

16. הצג, במסגרת הדואופול של סטקלברג, שני שיווי משקל נאש. האחד מקיים שהכמויות ששני השחקנים מייצרים בפועל זהות לשיווי משקל במשחק של קורנו. והשני בו הפירמה שבוחרת ראשונה לא מייצרת כלום ואילו השנייה נוהגת כמונופול. הסבר בקצרה מדוע שיווי המשקל שבנית אינם SPE. אל תסתמך בתשובתך על חישוב שיווי משקל SPE.

משחקים שיתופיים

17. בפרלמנט של רפובליקת בננות יש 101 מושבים. בפרלמנט יש ארבע מפלגות. למפלגה השמרנית 40 מושבים, למפלגה הליברלית 25 מושבים, למפלגה החקלאית 25 מושבים, ולמפלגה הירוקה 11 מושבים.

כדי להרכיב את הממשלה צריך רוב מיוחד של לפחות 64 מושבים. לקואליציה שמרכיבה את הממשלה יש 100 קילוגרם זהב לחלק בין חבריה.

17.1 נסח את הפרלמנט של רפובליקת הבננות כמשחק קואליציוני (עם תשלומים הניתנים להעברה).

17.2 מצא את הליבה של המשחק.

17.3 האם הליבה נראית לך הגיונית. נמק תשובתך בקצרה.