1.מצא את כל שיווי המשקל נאש, כולל באסטרטגיות מעורבות במשחקים הבאים:
9,8 1,12 10,1 0,0 10,9 1,8 8,1 6,7 1,2 0,0 0,0 4,1 9,9 1,8 8,1 7,7 6,8 4,12 8,9 2,10 10,1 0,0 10,9 1,6 6,1 3,3 1,6 0,0 0,0 5,2 9,9 1,8 8,6 8,1 7,7 10,5 9,9 1,10 10,1 0,0
2. שני שחקנים אמורים לחלק ביניהם 2 מטבעות זהב שווים. המשחק מתנהל סימולטנית. שחקן 1 מחלק את המטבעות בין שתי צלחות הנסתרות משחקן 2. (ניתן להשאיר צלחת ריקה כמובן). ושחקן 2 בוחר איזו צלחת (ימנית או שמאלית) הוא לוקח לעצמו. לכל שחקן תועלת כמספר המטבעות שקיבל.
2.1 נסח את המשחק בצורה פורמלית, ושרטט מטריצת המשחק.
2.2 האם קיים שיווי משקל נאש באסרטגיות טהורות? אם כן מהו?
2.3 מצא את שיוווי המשקל באסטרטגיות מעורבות? (שימו לב יש רבים)
2.4 איך היתה משתנית תשובתך לסעיף 2.3 לעיל אילו השחקנים היו שונאי סיכון?
3.
3.1 נתון המשחק הבא בצורה רחבה. צייר את עץ המשחק ומצא את שיוויי משקל SPE שלו.
קבוצת השחקנים: {1,2}
היסטוריות סופניות: {(C,E),(C,F),(D,G),(D,H)}
פונקציית השחקנים: P(∅)=1, P(C)=2, P(D)=2
פונקציית התועלת של שחקן 1: u1(C,E)=3, u1(C,F)=2, u1(D,G)=1, u1(D,H)=0
פונקציית התועלת של שחקן 2: u2(C,E)=3, u2(C,F)=5, u2(D,G)=2, u2(D,H)=1
3.2 נתון המשחק הבא בצורה רחבה. צייר את עץ המשחק ומצא את שיוויי משקל SPE שלו.
קבוצת השחקנים: {1,2}
היסטוריות סופניות: {(C,E),(C,F),(D,G),(D,H)}
פונקציית השחקנים: P(∅)=1, P(C)=2, P(D)=2
פונקציית התועלת של שחקן 1: u1(C,E)=2, u1(C,F)=3, u1(D,G)=0, u1(D,H)=1
פונקציית התועלת של שחקן 2: u2(C,E)=1, u2(C,F)=0, u2(D,G)=2, u2(D,H)=3
4. ציין נכון או לא נכון ונמק בקצרה.
לפי המודל של הוטלינג:
א. לפוליטיקאי אין אידאולוגיה פרט לניצחון
ב. כדאי להתמודד בבחירות מול מועמד קיצוני
ג. כדאי לבחור עמדה קיצונית
5. ציין נכון או לא נכון ונמק בקצרה.
קבלת החלטות בתנאי אי וודאות:
א. כופה תמיד שיתוף פעולה
ב. מקטינה תמיד שיתוף פעולה
ג. כופה שיתוף פעולה רק לגבי מספר גדול של שחקנים
ד. לפעמים מעודדת שיתוף פעולה ולפעמים להפך
6. מלחמת התשה. שני שחקנים חלוקים ביניהם על בעלות על חפץ מסוים. כל אחד מהם בוחר כמה זמן ti, ti≥0 להתעקש. התועלות הן כדלקמן:
u1 =
v1-t2, t1>t2
(½)v1-t2, t1=;t2
-t1, t1<t2
u2 =
-t2, t1>t2
(½)v2-t1, t1=;t2
v2-t1, t1<t2
6.1 הצג את הסיטואציה כמשחק בצורה נורמלית.
6.2 מצא את שיווי משקל נאש של המשחק. רמז: בשווי משקל המפסיד מתעקש ti=0.
7. שני אספני בולים מעונינים לרכוש בול נדיר המוצע למכירה במכרז. הערך של הבול עבור האספן ה-i הינו vi. וכן
v1>v2>0.
כל אספן i יכול להגיש הצעת מחיר כתובה
bi≥0
. האספן שהציע את הסכום הגבוה ביותר זוכה במכרז, ומשלם את המחיר השני הגבוה ביותר שהוצע.
אם שני השחקנים הציעו אותו מחיר, מוטל מטבע בהסתברויות שוות כדי להחליט מי זוכה במכרז.
כך שהתועלת של האספנים היא:
כאשר
bi>bj
אז
ui = vi - bj
כאשר
bi=bj
אז
ui = (vi - bj)/2
כאשר
bi<bj
אז
ui = 0
7.1 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 1 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.
7.2 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 2 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.
7.3 עתה הנח כי המשחק מתקיים בתורות. תחילה שחקן 1 מכריז הצעה ולאחר מכן שחקן 2. הוכח שבשיווי משקל subgame perfect שחקן 2 לעולם אינו זוכה במכרז. (לא חייבים לחשב את כל שיווי המשקל subgame perfect של המשחק)
7.4 עתה הנח כי המשחק מתקיים בתורות. תחילה שחקן 2 מכריז הצעה ולאחר מכן שחקן 1. הצג שיווי משקל subgame perfect שבו שחקן 2 זוכה במכרז. הוכח שזו אכן שיווי משקל. הקפד לתאר בצורה מלאה ומדויקת את האסטרטגיה של שחקן 1.
7.5 עכשיו הנח שכללי המכרז הם שונים, והזוכה במכרז משלם את המחיר שהציע הוא עצמו. כמו כן הנח שחייבים להציע הצעה בשקלים שלמים, וש v1=10½, v2=5½. נסח מחדש את פונקציות התועלת של השחקנים.
7.6 מצא את שיווי המשקל (ישנם כמה) במשחק החדש.
8. מרבה רגליים אינסופי. יש שני שחקנים. השחקנים משחקים בתורות. בתורות האי-זוגיים שחקן 1 משחק, ובזוגיים שחקן 2. שחקן בתורו יכול לבחור אם להמשיך את המשחק או להפסיקו. אם שחקן 1 מפסיק את המשחק בתור ה-n התועלות הן (n, n-2). אם שחקן 2 מפסיק את המשחק בתור ה-n התועלות הן (n-2, n). במהלך המשחק בו שני השחקנים תמיד ממשיכים התועלות הן גבוהות יותר מכל מהלך משחק סופי.
8.2 הראה שפרופיל האסטרטגיות בו שני השחקנים תמיד מפסיקים את המשחק הוא שיווי משקל subgame perfect רמז: אי אפשר להשתמש באינדוקציה לאחור, אלא בהגדרת שיווי משקל subgame perfect)
8.3 הראה שלא קיים שיווי משקל נאש בו המשחק נגמר בתור כלשהו שאיננו התור הראשון.
8.4 הראה שלא קיים שיווי משקל subgame perfect פרט לאלו בסעיפים 4.1 ו-4.2.
9. יש שני שחקני והם צריכים לחלק בינהם שתי מטבעות זהב שווי ערך. שחקן מספר 1 מציע חלוקה, ושחקן מספר ש 2 צריך להסכים או לסרב. המשחק נגמר בשלב זה. אם השחקן 2 הסכים להצעה התועלות הן לפי ההצעה, אם סירב, שניהם מקבלים 0.
9.1 נסח את המשחק בצורה פורמלית.
9.2 מצא את כל שיווי המשקל ה SPE של המשחק.
9.3 מצא שיווי משקל נאש השונה משווי המשקל שמצאת לעיל.
10. להלן שלושה משחקים. מצאו את שיוויי המשקל.
|
|
|
11. לראובן ושמעון יש עשר מטבעות זהב בבעלותם המשותפת. עליהם לחלק אותן ביניהם לפי הכללים הבאים: כל שחקן רושם על פתק מספר שלם בין אחת לעשר המייצג את מטבעות שהוא רוצה לעצמו. אם סכום שני המספרים קטן או שווה לעשר כל אחד מקבל את מה שביקש, ושאר הכסף נתרם לצדקה. אם הסכום עולה על עשר, והם ביקשו מספרים שונים, זה שביקש פחות מקבל את מה שביקש האחר, וזה שביקש יותר מקבל את מה שנשאר. אם הסכום עולה על עשר אבל שניהם ביקשו אותו סכום, כל אחד מקבל חמישה מטבעות. לשני השחקנים יש תועלת רק ממספר המטבעות שהם עצמם מקבלים. אין להם תועלת מצדקה או ממה שמקבל השותף.
תארו את המשחק באופן פורמלי. כלומר ציינו מהי קבוצת הפעולות של כל שחקן ומהי פונקציית התועלת.
מצאו את שיוויי המשקל במשחק. מומלץ להשתמש בטבלה המציגה את פונקציות המענה הטוב ביותר.
12. דון במכרז מחיר שני הדומה לזה שהצגנו בשיעור, בו יש 10 שחקנים. הנח שהערכים הפרטיים של הפריט העומד למכירה כולם שונים זה מזה, וסדורים לפי שמות השחקנים. (כלומר של שחקן מספר 1 הוא הגבוה ביותר, של שחקן שתיים השני הגבוה ביותר, וכן הלאה).
12.1 כתוב את פונקציית התועלת של השחקן ה-i. סמן את ההצעה הגבוהה ביותר ב-bmax ואת ההצעה השנייה ב-bp.
12.2 הוכח שפרופיל הפעולות בהן שחקן שרירותי כלשהו מציע הצעה הגבוהה או שווה ל v1 ושאר השחקנים מציעים אפס, היא שיווי משקל נאש.
13. יש שתי פירמות. לכל אחת פונקצית עלות:
ki + cxi, xi > 0
0, xi=0
כאשר
xi
הכמות המיוצרת ע"י פירמה i,
k1>k2>0, c>0
קבועים.
המחיר בשוק p הוא
p(x1,x2) = 100 - (x1 + x2)
13.1 מהי פונקצית הרווח של כל פירמה?
13.2 הגדר משחק בו הפירמות הן שחקנים, כל אחת בוחרת את הכמות שהיא מייצרת, והתועלת של כל פירמה שוה לרווח שלה.
13.3 מצא את שיווי המשקל (של נאש). שימו לב מה קורה בערכים שונים של הקבועים.
14. לשתי פירמות פונקציית עלות Ci(xi)=10xi, i=1,2.
פונקציית המחיר היא 100-x1-x2
התועלת של כל פירמה היא הרווח שלה דהיינו:
pxi-C(xi)
14.1 בהנחה שכל פירמה בוחרת את הכמות שהיא מייצרת ושתי הפירמות פועלות סימולטנית, מצא את שיווי משקל נאש.
14.2 בהנחה שתחילה הפירמה 1 בוחרת כמות, ולאחר מכן פירמה 2 בוחרת כמות. מה יהיה שיווי משקל SPE?
15. יש שתי פירמות. פונקציות העלות הן:
c1(x1)=20x1
c2(x2)=cx2
כאשר xi הכמות המיוצרת ע"י פירמה i, c>0 קבוע.
המחיר בשוק p הוא
p(x1,x2) = 100 - (x1 + x2)
פונקציית התועלת של כל פירמה היא: p(x1,x2)xi - ci(xi)
כל פירמה בוחרת את הכמות שהיא מייצרת.
15.1 חשב את שיווי משקל נאש של המשחק עבור 0≤c<40.
15.2 חשב את שיווי משקל נאש של המשחק עבור 40≤c.
15.3 עתה הנח ש c=30 אבל שהשחקנים משחקים בתורות. תחילה שחקן 1 קובע את הכמות שהוא מייצר ולאחריו שחקן 2. מצא את שיווי משקל subgame perfect במשחק זה. הקפד לתאר בצורה מלאה ומדויקת את האסטרטגיה של שחקן 2.
16. הצג, במסגרת הדואופול של סטקלברג, שני שיווי משקל נאש. האחד מקיים שהכמויות ששני השחקנים מייצרים בפועל זהות לשיווי משקל במשחק של קורנו. והשני בו הפירמה שבוחרת ראשונה לא מייצרת כלום ואילו השנייה נוהגת כמונופול. הסבר בקצרה מדוע שיווי המשקל שבנית אינם SPE. אל תסתמך בתשובתך על חישוב שיווי משקל SPE.
17. בפרלמנט של רפובליקת בננות יש 101 מושבים. בפרלמנט יש ארבע מפלגות. למפלגה השמרנית 40 מושבים, למפלגה הליברלית 25 מושבים, למפלגה החקלאית 25 מושבים, ולמפלגה הירוקה 11 מושבים.
כדי להרכיב את הממשלה צריך רוב מיוחד של לפחות 64 מושבים. לקואליציה שמרכיבה את הממשלה יש 100 קילוגרם זהב לחלק בין חבריה.17.1 נסח את הפרלמנט של רפובליקת הבננות כמשחק קואליציוני (עם תשלומים הניתנים להעברה).
17.2 מצא את הליבה של המשחק.
17.3 האם הליבה נראית לך הגיונית. נמק תשובתך בקצרה.