1. יש שתי פירמות. לכל אחת פונקצית עלות:
ki + cxi, xi > 0
0, xi=0
כאשר
xi
הכמות המיוצרת ע"י פירמה i,
k1>k2>0, c>0
קבועים.
המחיר בשוק p הוא
p(x1,x2) = 100 - (x1 + x2)
1.1 מהי פונקצית הרווח של כל פירמה?
1.2 הגדר משחק בו הפירמות הן שחקנים, כל אחת בוחרת את הכמות שהיא מייצרת, והתועלת של כל פירמה שוה לרווח שלה.
1.3 מצא את שיווי המשקל (של נאש). שימו לב מה קורה בערכים שונים של הקבועים.
2. שני אספני בולים מעונינים לרכוש בול נדיר המוצע למכירה במכרז. הערך של הבול עבור האספן ה-i הינו vi. וכן
v1>v2>0.
כל אספן i יכול להגיש הצעת מחיר כתובה
bi≥0
. האספן שהציע את הסכום הגבוה ביותר זוכה במכרז, ומשלם את המחיר השני הגבוה ביותר שהוצע.
אם שני השחקנים הציעו אותו מחיר, מוטל מטבע בהסתברויות שוות כדי להחליט מי זוכה במכרז.
כך שהתועלת של האספנים היא:
כאשר
bi>bj
אז
ui = vi - bj
כאשר
bi=bj
אז
ui = (vi - bj)/2
כאשר
bi<bj
אז
ui = 0
2.1 מצא את שיווי משקל נאש במשחק זה. (שים לב כי קיימים מספר שיווי משקל.)
2.2 עכשיו הנח שכללי המכרז הם שונים, והזוכה במכרז משלם את המחיר שהציע הוא עצמו. כמו כן הנח שחייבים להציע הצעה בשקלים שלמים, וש v1=10½, v2=5½. נסח מחדש את פונקציות התועלת של השחקנים.
2.3 מצא את שיווי המשקל (שוב ישנם כמה) במשחק החדש.
1. במשחק של מכרז מחיר שני (בדומה לזה שהיה בתרגיל), הנח כי השחקנים מכריזים את ההצעות שלהם בתורות. בשלב ראשון, שחקן 1 (בעל הערך הגבוה) מכריז הצעה, ובשלב שני, השחקן השני שיודע את ההצעה ששחקן 1 הכריז, מכריז הצעה. התועלות נקבעות בהתאם להצעות כמו במשחק הסימולטני.
1.1 הצג שיווי משקל (אסטרטגיה לכל שחקן) שבו מהלך המשחק הינו: b1=v1, b2=v2.
1.2 הצג שיווי משקל (אסטרטגיה לכל שחקן) שמהלך המשחק הינו: b1=v2, b2<v2.
1.3 הראה שבכל שיווי משקל subgame perfect שחקן 1 זוכה במכרז.
1.4 מצא שיווי משקל נאש שבו שחקן 2 זוכה במכרז.
2 מצא את כל שיווי משקל נאש (כולל באסטרטגיות מעורבות) במשחק להלן:
9,9 1,10 10,1 0,0
יש לענות על שתיים מתוך שלוש השאלות. כל חומר עזר מותר בשימוש.
1. יש שתי פירמות. פונקציות העלות הן:
c1(x1)=10x1
c2(x2)=cx2
כאשר xi הכמות המיוצרת ע"י פירמה i, c>0 קבוע.
המחיר בשוק p הוא
p(x1,x2) = 100 - (x1 + x2)
פונקציית התועלת של כל פירמה היא: p(x1,x2)xi - ci(xi)
כל פירמה בוחרת את הכמות שהיא מייצרת.
1.1 חשב את שיווי משקל נאש של המשחק עבור 0≤c<45.
1.2 חשב את שיווי משקל נאש של המשחק עבור 45≤c.
1.3 עתה הנח ש c=20 אבל שהשחקנים משחקים בתורות. תחילה שחקן 1 קובע את הכמות שהוא מייצר ולאחריו שחקן 2. מצא את שיווי משקל subgame perfect במשחק זה. הקפד לתאר בצורה מלאה ומדויקת את האסטרטגיה של שחקן 2.
2. שני אספני בולים מעונינים לרכוש בול נדיר המוצע למכירה במכרז. הערך של הבול עבור האספן ה-i הינו vi. וכן
v1>v2>0.
כל אספן i יכול להגיש הצעת מחיר כתובה
bi≥0
. האספן שהציע את הסכום הגבוה ביותר זוכה במכרז, ומשלם את המחיר השני הגבוה ביותר שהוצע.
אם שני השחקנים הציעו אותו מחיר, מוטל מטבע בהסתברויות שוות כדי להחליט מי זוכה במכרז.
כך שהתועלת של האספנים היא:
כאשר
bi>bj
אז
ui = vi - bj
כאשר
bi=bj
אז
ui = (vi - bj)/2
כאשר
bi<bj
אז
ui = 0
2.1 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 1 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.
2.2 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 2 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.
2.3 עתה הנח כי המשחק מתקיים בתורות. תחילה שחקן 1 מכריז הצעה ולאחר מכן שחקן 2. הוכח שבשיווי משקל subgame perfect שחקן 2 לעולם אינו זוכה במכרז. (לא חייבים לחשב את כל שיווי המשקל subgame perfect של המשחק)
3.מצא את כל שיווי המשקל נאש, כולל באסטרטגיות מעורבות במשחקים הבאים:
9,8 1,12 10,1 0,0 10,9 1,8 8,1 6,7 1,2 0,0 0,0 4,1 9,9 1,8 8,1 7,7 6,8 4,12
יש לענות על שתיים מתוך שלוש השאלות. כל חומר עזר מותר בשימוש.
1. יש שתי פירמות. פונקציות העלות הן:
c1(x1)=20x1
c2(x2)=cx2
כאשר xi הכמות המיוצרת ע"י פירמה i, c>0 קבוע.
המחיר בשוק p הוא
p(x1,x2) = 100 - (x1 + x2)
פונקציית התועלת של כל פירמה היא: p(x1,x2)xi - ci(xi)
כל פירמה בוחרת את הכמות שהיא מייצרת.
1.1 חשב את שיווי משקל נאש של המשחק עבור 0≤c<40.
1.2 חשב את שיווי משקל נאש של המשחק עבור 40≤c.
1.3 עתה הנח ש c=30 אבל שהשחקנים משחקים בתורות. תחילה שחקן 1 קובע את הכמות שהוא מייצר ולאחריו שחקן 2. מצא את שיווי משקל subgame perfect במשחק זה. הקפד לתאר בצורה מלאה ומדויקת את האסטרטגיה של שחקן 2.
2. שני אספני בולים מעונינים לרכוש בול נדיר המוצע למכירה במכרז. הערך של הבול עבור האספן ה-i הינו vi. וכן
v1>v2>0.
כל אספן i יכול להגיש הצעת מחיר כתובה
bi≥0
. האספן שהציע את הסכום הגבוה ביותר זוכה במכרז, ומשלם את המחיר השני הגבוה ביותר שהוצע.
אם שני השחקנים הציעו אותו מחיר, מוטל מטבע בהסתברויות שוות כדי להחליט מי זוכה במכרז.
כך שהתועלת של האספנים היא:
כאשר
bi>bj
אז
ui = vi - bj
כאשר
bi=bj
אז
ui = (vi - bj)/2
כאשר
bi<bj
אז
ui = 0
2.1 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 1 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.
2.2 הצג שיווי משקל נאש בו שחקן 2 זוכה במכרז. הוכח כי הוא אכן שיווי משקל.
2.3 עתה הנח כי המשחק מתקיים בתורות. תחילה שחקן 2 מכריז הצעה ולאחר מכן שחקן 1. הצג שיווי משקל subgame perfect שבו שחקן 2 זוכה במכרז. הוכח שזו אכן שיווי משקל. הקפד לתאר בצורה מלאה ומדויקת את האסטרטגיה של שחקן 1.
3.מצא את כל שיווי המשקל נאש, כולל באסטרטגיות מעורבות במשחקים הבאים:
8,9 2,10 10,1 0,0 10,9 1,6 6,1 3,3 1,6 0,0 0,0 5,2 9,9 1,8 8,6 8,1 7,7 10,5