מבחן בתורת המשחקים

1.מצא את כל שיווי המשקל נאש, כולל באסטרטגיות מעורבות במשחקים הבאים:

  1,1       4,4
  4,4       1,1
  2,2       2,2

  3,3       0,4
  4,0       1,1

2. נתון המשחק הבא בצורה רחבה. צייר את עץ המשחק ומצא את שיוויי משקל SPE (תמי"ם) שלו.

קבוצת השחקנים: {1,2}
היסטוריות סופניות: {(C,E),(C,F),(D,G),(D,H)}
פונקציית השחקנים: P(∅)=1, P(C)=2, P(D)=2
פונקציית התועלת של שחקן 1: u₁(C,E)=4, u₁(C,F)=3, u₁(D,G)=2, u₁(D,H)=3
פונקציית התועלת של שחקן 2: u₂(C,E)=3, u₂(C,F)=4, u₂(D,G)=2, u₂(D,H)=3

3. במכרז מחיר שני יש חמישה משתתפים. השווי הסובייקטיבי של הפריט המוצע למכירה הוא v(i) למשתתף ה-i. מתקיים v(1)>...>v(5)>0.

במכרז זוכה בעל ההצעה הגבוהה ביותר והוא משלם את המחיר השני הגבוה ביותר. אם שניים או יותר הציעו את ההצעה הגבוהה ביותר הזוכה נקבע בהגרלה בין המציעים הגבוהים ביותר והמחיר הוא ההצעה הגבוהה ביותר.

א. הצג שיווי משקל בו השחקן הרביעי, זה עם v(4) זוכה במכרז.

ב. האם שיווי המשקל לעיל נראה לך סביר? מה לדעתך סביר שיקרה במכרז? נמק בקצרה.

4.שני שחקנים משחקים משחק החוזר פעמיים כאשר בכל שלב המשחק נתון ע"י המטריצה:

          L       R
T      9,9   0,8
B      8,0   7,7

התועלת במשחק כולו היא סך כל התועלות הנצברות בשני השלבים.

כתוב אסטרטגיות עבור שני השחקנים המהוות שיווי משקל תמי"ם (SPE) ואשר יביאו לכך שבמהלך המשחק השחקנים יבחרו בסיבוב הראשון (T,L) ובשני (B,R).

5. במשחק "בעיית המרעה" משחקים שני שחקנים. השחקנים בוחרים באופן סימולטני מספר גדול או שווה לאפס. בהסתברות חצי סך המשאבים יהיו שווים ל 100+X ובהסתברות חצי שווים ל 100-X. אם סך הדרישות איננו גדול מסך המשאבים, כל שחקן מקבל את דרישתו. אם סך הדרישות גדול מסך המשאבים כולם מקבלים אפס.
5.1 נסח את המשחק כמשחק בצורה אסטרטגית.
5.2 עבור המשחק בו X=10 מצא שיווי משקל נאש סימטרי. (כלומר שהדרישות של שני השחקנים שוות זו לזו).
5.3 כמו כן עבור X=80.