מבחן בתורת המשחקים

1.מצא את כל שיווי המשקל נאש, כולל באסטרטגיות מעורבות במשחקים הבאים:

  9,9       1,8    4,3
  8,1       7,7    1,6
  6,8       4,12   8,8

  1,6       0,0
  0,0       5,2

2. נתון המשחק הבא בצורה רחבה. צייר את עץ המשחק ומצא את שיוויי משקל SPE (תמי"ם) שלו.

קבוצת השחקנים: {1,2}
היסטוריות סופניות: {(C,E),(C,F),(D,G),(D,H)}
פונקציית השחקנים: P(∅)=1, P(C)=2, P(D)=2
פונקציית התועלת של שחקן 1: u₁(C,E)=3, u₁(C,F)=2, u₁(D,G)=1, u₁(D,H)=0
פונקציית התועלת של שחקן 2: u₂(C,E)=3, u₂(C,F)=5, u₂(D,G)=2, u₂(D,H)=1

3. לשתי פירמות פונקציית עלות C_i(x_i)=10x_i, i=1,2. פונקציית המחיר היא p=100-x₁-x₂
התועלת של כל פירמה היא הרווח שלה דהיינו: px_i-C(x_i)

3.1 בהנחה שכל פירמה בוחרת את הכמות שהיא מייצרת ושתי הפירמות פועלות סימולטנית, מצא את שיווי משקל נאש.

3.2 בהנחה שתחילה הפירמה 1 בוחרת כמות, ולאחר מכן פירמה 2 בוחרת כמות. מה יהיה שיווי משקל SPE (תמי"ם)?

4.שני שחקנים משחקים משחק החוזר פעמיים כאשר בכל שלב המשחק נתון ע"י המטריצה:

          L       C       R
T      1,1     0,0     0,0
M     0,0     0,0     0,15
B      0,0    10,10   5,2

התועלת במשחק כולו היא סך כל התועלות הנצברות בשני השלבים.

כתוב אסטרטגיות עבור שני השחקנים המהוות שיווי משקל תמי"ם (SPE) ואשר יביאו לכך שבמהלך המשחק השחקנים יבחרו בסיבוב הראשון M,R.

5. במשחק "בעיית המרעה" משחקים שני שחקנים. השחקנים בוחרים באופן סימולטני מספר גדול או שווה לאפס. בהסתברות חצי סך המשאבים יהיו שווים ל 100+X ובהסתברות חצי שווים ל 100-X. אם סך הדרישות איננו גדול מסך המשאבים, כל שחקן מקבל את דרישתו. אם סך הדרישות גדול מסך המשאבים כולם מקבלים אפס. 5.1 נסח את המשחק כמשחק בצורה אסטרטגית.
5.2 עבור המשחק בו X=10 מצא שיווי משקל נאש סימטרי. (כלומר שהדרישות של שני השחקנים שוות זו לזו).
5.3 כמו כן עבור X=80.